Démonstration Théorème 2.5

Bonjour Monsieur,
Dans la démonstration du théorème 2.5, dans le cas A inversible, je ne comprends pas pourquoi on peut décomposer det(A) = det(E₁)det(E₂) x.….x det(E_p)det(I_n)

L'idée est ici que faire une étape élémentaire :
(A equiv_L B) s'écrit aussi B=E A ou encore A = E^{-1} B avec E un matrice élémentaire.
D'après la Prop 2.1 on a suivant les cas:
Transvection det(A)= det(B) Dilatation det(A)=(1/mu) det(B) Permutation det(A)=-det(B)
et on peut calculer det(E) suivant les cas:
Transvection det(E)=1 Dilatation det(E) =mu Permutation det(E)=-1.
Donc on trouve bien dans le cas d'une étape du pivot det(A) = det(E)^{-1} det(B) càd det(B)=det(E)det(A).

Par récurrence immédiate, on en déduit le résultat après p étape du pivot lorsque (A equiv_L In) càd lorsque A est inversible
A = E1....Ep In donc det(A) = det(E1)det(E2....Ep In) =....=det(E1)det(E2)...det(Ep)det(In)