Partie 2 Prop 2.1 'Image d'une base'

-Bonjour, je ne comprend pas la proposition 2.1 sur le lien entre une base et une application linéaire. Pourriez vous me donner des exemples?

-Est-ce-que vous l'avez utilisez dans l'exercice 3 et 2 de TD19 ?Et pourquoi?

En effet les exercices 2 et 3 du TD19 fournissent des exemples à la Prop 2.1
'Une application linéaire est déterminée de manière unique par l'image d'une base'

Pour faire un autre exemple:
Question :
Déterminer les applications linéaires $f:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}^2$ telles que $f(1)=(1,1), f(X-1)=(-1,0)$ et $f(X^2+X)=(0,2)$.

Réponse :
La famille $(1,X-1,X^2+X)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$ car de bon cardinal et libre (via échelonnée en degré)
Donc il existe une unique application linéaire d'après Prop 2.1 puis:
$f(aX^2+bX+c) = f(a(X^2+X)+ (b-a) (X-1) + (c+b-a) 1)$
$= a f(X^2-X)+ (b-a) f(X-1) + (c+b-a) f(1)$
$=a(0,2)+(b-a) (-1,0) + (c+b-a) (1,1)$
$= (c, a+b+c) = (P(0),P(1))$
Ainsi l'unique solution du problème est $P\mapsto (P(0),P(1))$