Démonstration de la bijectivité de l'application liant une application linéaire à sa matrice correspondante

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi
Mat_BE,BF(C_BF°f_A°C_BE^(-1))=A
Mat _BE,BF^(-1)[Mat_BE,BF(phi)]=phi

est-ce évident? Je n'arrive pas à trouver pourquoi cela est vrai, je considère seulement que cela est très probable.

On obtient la réciproque:
A -> C_{BF} o f_A o C_{BE}^{-1}
Je n'ai pas du le détailler suffisamment mais cela provient d'un résultat lorsque E=K^p et F=K^n

Je penses avoir détailler dans la vidéo Partie 2 (1/3) après la définition:
Mat_{Bp,Bn}(f_A) = A
Il y a ici en plus un changement de base c'est à dire que au lieu de faire les calculs avec (1,0,...,0) le premier vecteur de la base canonique on utilise e1 le premier vecteur de BE et ainsi de suite.
Le calcul est identique en particulier en utilisant les notation e1=(1,0,...,0)_{BE}.