Correction Evaluation 25

Bonjours Monsieur,
Je ne comprends pas comment vous trouvez directement la primitive de l'intégrale ci-dessous dans le f) de l'exo 0.
En vous remerciant par avance

Bonjour Monsieur!
Pourquoi dans le a de l’exercice 2 on utilise la formule de Riemann alors que notre somme est entre 1 et n et pas 0 et n-1?
Merci d’avance

La primitive de $y^{n+1}$ est $\frac{y^{n+2}}{n+2}$
La fonction $(at+b)^{n+1}$ est une modification linéaire admet pour primitive $\frac{1}{a} \frac{(at+b)^{n+2}}{n+2}$
Ici c'est le cas $a=-1$ et $b=1/2$ le facteur $\frac{1}{(1/2)^{n+2}}=2^{n+2}$ se met en facteur.

PS pour voir le TeX
-> https://chrome.google.com/webstore/detail/tex-all-the-things/cbimabofgmfdkicghcadidpemeenbffn sur chrome
-> https://addons.mozilla.org/fr/firefox/addon/texzilla/ sur firefox

Pour la formule des sommes de Riemann, il ne faut pas se préoccuper dans problème de 'bord'
Car pour $t_k=k/n$
la borne basse peut être $t_0=0/n\to 0$ ou $t_1=1/n\to 0$ ou même $t_9=9/n\to 0$
la borne haute peut être $t_n=n/n\to 1$ ou $t_{n-1}=(n-1)/n\to 1$ ou même $t_{n+3}=(n+3)/n\to 1$
Dans tous ces cas, on obtient:
$\frac{1}{n}\sum_{k=9}^{n+3} f(k/n) \to \int_0^1 f$
Les 'termes manquants' ou 'en trop' vont avoir en facteur $1/n$ et donc $f(t_n)/n=f(1)/n\to 0$ disparaissent dans le passage à  la limite.
On peut en négliger un nombre fini.

Par contre $\frac{1}{n}\sum_{k=n}^{2n} f(k/n)\to \int_1^2 f(t) dt$
car les bornes sont $t_n=n/n\to 1$ et $t_{2n}=2n/n\to 2$

Bonjour monsieur,
Je ne comprends pas comment cette égalité :
ln(cos( π/2(1−(πh/2)))) =h→0 ln(cos(π/2(1 + πh/2)))

L'étape ici est $1/(1- (\pi h/2)) =_{h\to 0} 1 + (\pi h/2) +o(h)$ (il manque les 'petits o' dans le corrigé)
Cela provient du DL de $\frac{1}{1-u}=1+u+u^2+...+u^n+o(u^n)$ à l'ordre 1.

Bonjour Monsieur,

Je vous avoue ne pas bien comprendre cette étape dans la détermination d'un équivalent de ln(cos(1/t)) en 0 :

=h→0 ln( h*π^2/4) ∼h→+∞ ln h

Pourquoi faire une équivalence quand h tend vers + l'infini alors qu'on a réalisé avant une série d'égalité quand h tend vers 0?

Vous remerciant d'avance pour votre réponse.

C'est une faute de frappe de ma part. C'est également $h\to 0$ (je vais modifier)
Pour le détail $\ln(h \pi^2/4)=\ln(h) + \ln(\pi^2/4) \sim_{h\to 0} \ln(h)$ car $\ln(\pi^2/4)$ est une constante face à $\ln(h)$ qui diverge.