Limite d'une suite récurrente Un+1= f(Un)

Bonjour Monsieur,

Je n'arrive pas à démontrer que cette suite ne converge pas :
Un+1 = 3/(1+2(Un)^2)

Voici un corrigé de cet exercice:
https://cahier-de-prepa.fr/pcsi1-lmb/download?id=1116

Merci beaucoup monsieur

Comment faites-vous pour factoriser l'expression du polynôme de degré 4 :
4x^4 − 8x^3 − 4x^2 − 16x + 3

Soient a,b,c,d,e des réels. On considère le polynôme P(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Il me semble que l'on 'sait' qu'il existe f,g,i,j,k des réels tels que P(x) = (fx^2 + gx + h)*(ix^2 + jx + k) (sans unicité)

Est-il possible d'''imposer'' le nombre f pour pouvoir ainsi résoudre un système linéaire de 5 équations 5 inconnues: (f fixé par nous)
0: k*h=e
1: k*g+j*h=d
2: k*f+h*i=c
3: j*f+i*g=b
4: f*i=a

Cette résolution permettrait-elle d'obtenir des coefficients corrects même si les solutions seraient 'lourdes'?

J'ai traité cette étape de factorisation rapidement et en réalité l'étude de la fonction (dérivée etc...) montre qu'il y a deux racines simples réelles et donc 2 complexes conjuguées.
Si P(X) =4x^4 − 8x^3 − 4x^2 − 16x + 3 alors on peut rendre unitaire et comme tu le proposes imposer la valeur de f Mais on préfère l'écriture:
P(X) = 4 (X- a) (X-b)(X^2-SX+P)
Les équations que l'on extrait sont plutôt du type 'somme-produit' S+a+b = 2 et abP=3/4 etc...
Pour le degré 3 et 4 la méthode que tu proposes aboutie toujours mais au delà il n'y rien de général.

Pour le Dl exp(sin(x)) a l'ordre 3, je me demandais s'il était aussi correct de simplifier a d'ordre 1 le sinus, afin d'avoir exp(x), puis de faire ce dl à l'ordre 3. Je trouve le même résultat que la correction.
En vous remerciant par avance.

Non on ne doit pas trouver le même termes en x^3
exp(sin(x)) = exp(x-x^3/6 + o(x^3))
= 1 + (x-x^3/6) + x^2/2 +x^3/6 + o(x^3)
=1+x+x^2/2 + 0 + o(x^3)
Il faut bien écrire o(x^3) du début à la fin et donc respecter le bon ordre à chaque étape