DS9 - 2017/2018 [Mail]

Dans le problème 1, quelle est votre approche avec la formule du rang pour répondre à la question 5.c

Dans les questions précédentes, on montre que : $Im(r)\subset Ker(r-2id_E)$ et que $Im(r-2id_E)\subset Ker(r)$.
On  peut démontrer l'égalité de la première en démontrant l'inclusion réciproque:
Pour $u\in\textrm{Ker}(r-2id_E)$ alors $r(u)-2u=0_E$ puis $u=r(u/2)\in Im(r)$.
Et en déduire que $Im(r)= Ker(r-2id_E)$ puis $dim(Ker(r-2id_E)) = dim(Im(r)) = rg(r)$.
Ainsi on peut appliquer deux fois la formule du rang $dim Ker(r-2id_E) = dim E - rg(r-2id_E)$ et $rg(r)=dim E - dim Ker(r)$.
Donc $dim Ker(r)=rg(r-2id_E) = dim Im(r-2id_E)$ démontrer à l'aide de la dimension l'égalité de la seconde inclusion: $Im(r-2id_E)= Ker(r)$.

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