DS8 2018-2019

pouvez r&expliquer la deuxième question de la partie A du problème s'il vous plait ?

On calcul l'image $Imf = Vect ( f(1,0), f(0,1)) = Vect ( (3,1,-2), (-1,2,-1) )$ avec $(3,1,-2), (-1,2,-1) \in \{(a,b,c) tq 3a+5b+7c=0\}$.
Donc $Imf \subset \{(a,b,c) tq 3a+5b+7c=0\}$.
Puis $\{(a,b,c) tq 3a+5b+7c=0\}=\{ (-5/3b-7/3c,b,c) pour b,c\in R\} = Vect( (-5/3,1,0), (-7/3,0,1) )$ est de dimension 2
Or $Im f =  Vect ( (3,1,-2), (-1,2,-1) )$ est de dimension 2.
Donc par thm de caractérisation par la dimension ce sont les mêmes sosus-espaces vectoriels.