DS9 de l'année 2017

Bonjour,
Dans l'exercice 2 de DS9 question e)  je ne comprend pas comment vous avez trouvé la famille F=(1,X,X^2,Q(x))  pourquoi R3[X]= vect(F) ?
Je ne comprend pas non plus la correction de la question f)
Merci beaucoup!

Pour la e), on part de $Ker \varphi = Vect( X(X-1)(X+1))=Vect( X^3-X)$ une droite vectoriel.
On peut appliquer le Thm de la base incomplète pour trouver une base qui 'commence' par (X^3-X) en ajoutant des vecteurs de la base canonique (1,X,X^2,X^3)
'L'astuce' est de remarquer que les trois premiers conviennent car (1,X,X^2,X^3-X) est une famille échelonnée en degrée donc libre et son cardinal est 4 la dimension de l'espace.
Ainsi $R_3[X]=Vect(1,X,X^2,X^3-X) = Vect(1,X,X^2)\oplus Vect (X^3-X)$ d'après le dernier résultat du chapitre 17 puis $=R_2[X]\oplus Ker\varphi$.
Donc $R_2[X]$ est un supplémentaire convenable.

Pour la f), on trouve une solution particulière P=1-X^2 et l'ensemble des solutions est $P+Ker \varphi$ (ce qui est démontré)
L'idée est que comme pour les équations différentielles, l'ensemble des solutions est  (une sol particulière) + {l'ens. des sol homogènes}
Avec en particulier {sol. homogènes} = {u tq f(u)=0} = Ker f