TD24 Exercice 5

Bonjour Monsieur,

Dans l’exercice 5 du TD24, pour la question a, j’ai trouvé une base orthonormée {1/sqrt(14)*(-1,3,2,0) , sqrt(70)/140*(8,4,-2,14)} qui est différente de celle de la correction. Est-elle juste ?
Pour la question b, existe-t-il une méthode générale pour trouver v3 et v4?
Je vous remercie d’avance.

La base de F que tu proposes est correcte.

Pour le b), l'idée est d'observer que F est déterminer par deux équations qui se traduisent par des orthogonalités:
x+y-z-t=0 ssi (x,y,z,t) ortho (1,1,-1,-1)=v3
x-y+2z =0 ssi (x,y,z,t) ortho (1,-1,2,0)=v4
Donc F est l'orthogonal de Vect (v3,v4)
on en déduit en dimension finie Vect (v3,v4) est l'orthogonal de F

Ceci est donc très général
typiquement le plan de R^3 d'équation ax+by+cz=0 est l'orthogonal de la droite Vect (a,b,c)